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Iperbole: costruzione n. 4

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George Boole.Al variare del punto Q lo si trascini nella fig. Figura 3. Questa costruzione suggerisce come si possa interpretare l'iperbole anche come il luogo dei punti di intersezione di due famiglie di circonferenze ciascuno con un proprio centro fisso i fuochi e tali da avere pari ad una costante la differenza dei rispettivi raggi.

A tal proposito si veda la sezione finale in questa pagina. Tutti questi punti sono inseriti in GeoGebra tramite la barra di inserimento fig. Sulla base delle precedenti deduzioni, prima geometrica e poi analitica, vogliamo mostrare qui come le linee di interferenza costruttiva o, volendo, di interferenza distruttiva di due sorgenti di onde armoniche che oscillano in fase siano delle iperboli con i fuochi coincidenti con le sorgenti stesse.

Supponiamo che queste circonferenze o fronti d'onda rappresentino, in un dato istante, i massimi della perturbazione per cui nel seguito individueremo, come detto, i punti di interferenza costruttiva. I punti di intersezione tra questi fronti d'onda saranno quindi pure i punti di interferenza costruttiva in quanto le due pertubazioni assumono ivi il loro massimo. Ritorna alla pagina iniziale. Iperbole: costruzione n.Dapprima presentiamo la definizione di iperbole mettendone in mostra l'equazione, gli elementi caratteristici ed elencando le formule utili per la risoluzione dei problemi e degli esercizi di Geometria Analitica.

Nella seconda parte della lezione passiamo a trattare il caso particolare dell'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti. Non proporremo particolari esempi nel corso della spiegazione, ma troverete link di approfondimento ed una scheda di esercizi svolti che vi schiariranno le idee in caso di dubbi.

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L'iperbole interseca sempre uno dei due assi. Come si evince facilmente dalle precedenti definizioni e dalle figure ogni iperbole gode di simmetria assiale e di simmetria centrale. Non fatevi spaventare dal numero di formule: se ne comprendete la logica potete limitarvi a ricordarne solo una parte e a ricavare le restanti con il puro ragionamento. Non fatevi ingannare negli esercizi e concentratevi sulla struttura dell'equazione: se, mediante opportuni passaggi algebrici, riuscite a ricondurvi alla precedente equazione allora essa rappresenta un'iperbole che interseca l'asse delle ascisse e che ha il centro nell'origine.

Nella forma finale gli aspetti caratteristici della struttura dell'equazione riguardano la differenza ordinata tra due termini inil membro di destra pari a 1 e due denominatori positivi in modo da poterne estrarre la radice quadrata. Per gli esempi sull' equazione dell'iperbole vi rimandiamo alla pagina del link. Le radici dei denominatori presenti nell'equazione,corrispondono alle misure dei semiassi dell'iperbole.

Si noti che indipendentemente che risulti la precedente equazione individua sempre un'iperbole che interseca l'asse delle ascisse ed in cui l'asse trasverso giace sull'asse x.

Nel caso di un'iperbole che interseca l'asse x con centro nell'origine i vertici sono per definizione situati sull'asse x e hanno coordinate date da. Le equazioni degli asintoti di un'iperbole che interseca l'asse delle ascisse e con centro nell'origine sono date da.

Nel caso considerato gli asintoti sono rette passanti per l'origine. Un'iperbole che interseca l'asse x e con il centro non nell'origine costituisce una generalizzazione del caso appena visto e presenta un'equazione della forma. Le coordinate dei vertici e quelle dei fuochi possono essere ricavate con una semplice traslazione e applicando le corrispondenti formule di cambiamento delle coordinate.

Per le equazioni degli asintoti basta ricorrere all'equazione della retta passante per un punto. Attenzione alle varianti! Noi abbiamo preferito non adottare tale scelta onde evitare di generare inutili confusioni.

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Per il resto valgono considerazioni del tutto analoghe rispetto al caso dell'equazione dell'iperbole che interseca l'asse delle x con centro nell'origine, solo che qui la struttura dell'equazione prevede di avere come membro di destra I coefficienti indicano ancora una volta le misure dei semiassi dell'iperbole e preservano sempre la stessa corrispondenza. Indipendentemente che sia la precedente equazione descrive sempre un'iperbole che interseca l'asse y con asse trasverso sull'asse delle ordinate.

I vertici di un'iperbole che interseca l'asse y e con centro nell'origine hanno coordinate date da. Le coordinate dei fuochi di un'iperbole con centro nell'origine e che interseca l'asse y si calcolano con le formule. L'asse focale di un'iperbole con centro nell'origine e che interseca l'asse y giace sull'asse delle ordinate. La formula per la semidistanza focale resta invariata.

Per le equazioni degli asintoti possiamo usare l'equazione della retta passante per un punto. Possiamo allora decidere di considerare il piano cartesiano scegliendo come assi gli asintoti dell'iperbole equilatera. Iperbole equilatera riferita ai propri asintoti. Ovviamente essa non interseca gli assi cartesiani. Centro, assi e semiassi dell'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti.La circonferenza si genera quando. La parabola si genera quando. Come sono posizionate le sfere di Dandelin nel caso dell'iperbole?

Scarica le app. Coniche Dandelin. Autore: Gabbi Enrico. Si considera una seconda retta g detta generatrice che forma con a un angolo. Le sfere di Dandelin possono essere due o una a seconda dell'inclinazione del piano.

Infatti Ogni sezione conica non degenere ha associata una sfera di Dandelin: Un'ellisse possiede due sfere di Dandelin, entrambe tangenti alla stessa falda del cono. Un'iperbole ha due sfere di Dandelin che toccano le falde opposte del cono.

Una parabola possiede una sola sfera di Dandelin. Il punto di intersezione della sfera di Dandelin con il piano coincide a ciascuno dei suoi due fuochi o al suo unico fuoco. Wikipedia - Sfere di Dandelin.

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Visualizza le sfere di Dandelin ed osserva quanto detto in teoria. Verifica la tua risposta Nella circonferenza Nell'ellisse Nella parabola Nell'iperbole Verifica la risposta. Scopri le risorse Pallina galleggiante Misurare l'area di una figura geometrica La funzione Cotangente espressa mediante la funzione Secante Fascio di Parabole Le rette nel piano.Lo faremo ricorrendo ad un esempio.

Supponiamo di voler disegnare l'iperbole di equazione. Noi sappiamo che:. Di conseguenza. Noi sappiamo che i vertici hanno coordinate. Nel nostro caso, quindi, essi saranno:. Li disegniamo sugli assi cartesiani:. Quindi, nel nostro caso un asintoto passa per il punto.

Quindi disegniamo tali punti sugli assi cartesiani e tracciamo le rette passanti per essi e per il centro degli assi:. A questo punto disegniamo la curva sapendo che essa:. Lezione precedente - Lezione successiva. Indice argomenti sull'iperbole.

Tutte le altre lezioni sulla parabola. Ti saremmo grati se volessi dedicarci alcuni minuti rispondendo ad un breve questionario. Compila il questionario. Partita IVA: Quindi, nel nostro caso un asintoto passa per il punto N 2; 3 e l'altro per il punto N 1 2; L'iperbole Equazione dell'iperbole Elementi dell'iperbole Asintoti dell'iperbole Assi cartesiani ortogonali Tutte le altre lezioni sulla parabola.

Formule di geometria piana Formule di geometria analitica Tavola dei numeri primi Tavole delle potenze Tavola delle radici Tabella pesi specifici Formule dell'interesse semplice e dello sconto commerciale.La costruzione qui proposta fig.

Sia quindi a la lunghezza del semiasse focale o trasverso e b quella dell'asse ad esso perpendicolare. Entrambi i valori saranno rappresentati nella costruzione da due slider. Figura 3. La costruzione sopra permette di giungere facilmente all'equazione canonica dell'iperbole ma soprattutto ad una sua rappresentazione parametrica. Ritorna alla pagina iniziale. Iperbole: costruzione n. Pertanto, definiti gli slider a e b variabili nell'intervallo [0,10]tracciamo due rette c e d mutuamente perpendicolari nel punto A.

Quindi, con lo strumento Circonferenza-dati centro e raggiotracciamo una circonferenza e di centro A e raggio a ed una seconda f con lo stesso centro e raggio b. Definito un punto E sulla prima circonferenza, sia g la semiretta di origine A per E e F l'intersezione di questa con la seconda circonferenza. Disegniamo quindi le rette tangenti h e i alle due circonferenze, rispettivamente nei punti E ed F.

02 - La forma canonica dell'iperbole

Le retta h incontra la retta c in H mentre la retta i interseca c nel punto I. Tracciata la perpendicolare j a c per Hcon lo strumento Compasso disegniamo la circonferenza di centro H e raggio pari alla lunghezza del segmento FI.A noi interessa che sia in valore assoluto uguale a 2p.

Inseriamo, come in fig. Per vedere come costruire queste sfere si consideri la sezione della fig. Guardiamo ora da P verso il vertice V.

Quindi PF e PQ hanno la stessa lunghezza. In conclusione fig. Dunque abbiamo trovato:. Con centro F tracciamo la circonferenza di raggio 2p.

Coniche Dandelin

In fig. Si tratta di giustificare la costruzione. Osserviamo si guardi la fig. Come si vede dal filmato della fig. Cerchiamo di spiegare questa apparente stranezza. Guarda fig.

Se guardiamo alla fig. I vertici.

6. Costruzione ellissi e iperboli

Come si riconosce dalla fig. La fig. Al fine di chiarire nei dettagli come si procede, noti alcuni elementi, a costruire gli altri vediamo quanto segue:. Lo stesso dicasi per asintoti e fuochi. Sarebbe necessario giustificare la fig. Supponiamo di aver assegnato i fuochi e la costante 2p.

Sia R uno dei due punti in cui le circonferenze si tagliano.

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Sia L come in fig. Le loro ipotenuse sono rispettivamente raggio e diametro della circonferenza di centro M. Come illustrato in fig. Noti i fuochi e la costante 2p si procede come al punto 1. Dare una spiegazione del seguente filmato. Le due circonferenze sono tangenti. La curva di equazione. Il punto evidenziato ha coordinate p, q e per lui passa un asintoto. Questo dice tutto: ricordando la fig.


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